e
e的发现始於微分，当 h 逐渐接近零时，计算 之值，其结果无限接近一定值 2.71828。。。，这个定值就是 e，最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉，他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数。
计算对数函数 的导数，得 ，当 a=e 时， 的导数为 ，因而有理由使用以 e 为底的对数，这叫作自然对数。
若将指数函数 ex 作泰勒展开，则得
以 x=1 代入上式得
此级数收敛迅速，e 近似到小数点后 40 位的数值是
将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时，由
透过这个级数的计算，可得
由此，De Moivre 定理，三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出。譬如说，z1=x1+y1i， z2=x2+y2i，
另方面，
所以，
我们不仅可以证明 e 是无理数，而且它还是个超越数，即它不是任何一个整系数多项式的根，这个结果是 Hermite 在1873年得到的。
甲)差分。
考虑一个离散函数(即数列) R，它在 n 所取的值 u(n) 记成 un，通常我们就把这个函数书成 或 (un)。数列 u 的差分 还是一个数列，它在 n 所取的值以定义为
以后我们乾脆就把 简记为
(例)：数列 1， 4， 8， 7， 6， -2， 。。。 的差分数列为 3， 4， -1， -1， -8 。。。
注：我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中，这样的说法就很恶劣。但在此地，却很恰当，因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推。
差分算子的性质
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ，而 (n(k) 叫做排列数列。
(iv) 叫做自然等比数列。
(iv)‘ 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1)
(乙)。和分
给一个数列 (un)。和分的问题就是要算和 。 怎麼算呢 我们有下面重要的结果：
定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn)，使得 ，则
和分也具有线性的性质：
甲)微分
给一个函数 f，若牛顿商(或差分商) 的极限 存在，则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数，记为 f’(x0) 或 Df(x)，亦即
若 f 在定义区域上每一点导数都存在，则称 f 为可导微函数。我们称 为 f 的导函数，而 叫做微分算子。
微分算子的性质：
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)‘ 一般的指数数列 ax 之导函数为
(乙)积分。
设 f 为定义在 [a，b] 上的函数，积分的问题就是要算图甲阴影的面积。我们的办法是对 [a，b] 作分割：
；其次对每一小段 [xi-1，xi] 取一个样本点 ；再求近似和 (见图乙)；最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近於 0)。
若这个极限值存在，我们就记为 的几何意义就是图甲阴影的面积。
(事实上，连续性也「差不多」是积分存在的必要条件。)
图甲
图乙
积分算子也具有线性的性质：
定理2 若 f 为一连续函数，则 存在。(事实上，连续性也「差不多」是积分存在的必要条件。)
定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a，b] 上的连续函数，我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g，使得 g’=f，则
注：(1)(2)两式虽是类推，但有一点点差异，即和分的上限要很小心！
上面定理1及定理3基本上都表述著差分与和分，微分与积分，是两个互逆的操作，就好像加法与减法，乘法与除法是互逆的操作一样。
我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了，而上面定理1及定理3告诉我们，要计算 (un) 的和分及 f 的积分，只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 ， g‘=f (这是差分及微分的问题)，那麼对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了。换句话说，我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作，这就是“以简御繁”的精神。牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此。
甲)Taylor展开公式
这分别有离散与连续的类推。它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例。逼近想法的意思是这样的：给一个函数 f，我们要研究 f 的行为，但 f 本身可能很复杂而不易对付，於是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g，使其跟 f 很「靠近」，那麼我们就用 g 来取代 f。这又是以简御繁的精神表现。由上述我们看出，要使用逼近想法，我们还需要澄清
两个问题：即如何选取简单函数及逼近的尺度。
(一) 对於连续世界的情形，Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数，并且用局部的「切近」作为逼近尺度。说得更明白一点，给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f，我们要找一个 n 次多项函数 g，使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」，即 ，答案就是
此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式。
g 在 x0 点附近跟 f 很靠近，於是我们就用 g 局部地来取代 f。从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为。因此 Taylor 展式只是局部的逼近。当f是足够好的一个函数，即是所谓解析的函数时，则 f可展成 Taylor 级数，而且这个 Taylor 级数就等於 f 自身。
值得注意的是，一阶 Taylor 展式的特殊情形，此时 g(x)=f(x0+f’(x0)(x-x0)) 的图形正好是一条通过点 (x0，f(x0)) 而且切於 f 的图形之直线。因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是，我们用过点 (x0，f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线。这种局部化「用平直取代弯曲」的精神，是微分学的精义所在。
利用 Talor 展式，可以帮忙我们做很多事情，比如判别函数的极大值与极小值，求积分的近似值，作函数表(如三角函数表，对数表等)，这些都是意料中事。事实上，我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」。
复次我们注意到，我们选取多项函数作为逼近的简单函数，理由很简单：在众多初等函数中，如三角函数，指数函数，对数函数，多项函数等，从算术的观点来看，以多项函数最为简单，因为要计算多项函数的值，只牵涉到加减乘除四则运算，其它函数就没有这麼简单。
当然，从别的解析观点来看，在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数。例如，三角多项式，再配合上某种逼近尺度，我们就得到 Fourier 级数展开，这在应用数学上占有举足轻重的地位。(事实上，Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度，这在高等数学中经常出现，而且在统计学中也有应用。)
注：取 x0=0 的特例，此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式。不过只要会做特例的展开，欲求一般的 Taylor 展式，作一下平移(或变数代换)就好了。因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式。
(二) 对於离散的情形，Taylor 展开就是：
给一个数列 ，我们要找一个 n 次多项式数列 (gt)，使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」。所谓在 0 点具有 n 阶差近是指：
答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式。
乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推
(一) 分部积分公式：
设 u(x)，v(x) 在 [a，b] 上连续，则
(二) Abel分部和分公式：
设(un)，(v)为两个数列，令 sn=u1+。。。。。。+un，则
上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv)，及莱布尼慈差分公式 的结论。注意到，这两个莱布尼慈公式，一个很对称，另一个则不然。
(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)
(一) 复利的问题是这样的：有本金 y0，年利率 r，每年复利一次，要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式。
(二) 若考虑每年复利 m 次，则 t 年后的本利和应为
令 ，就得到连续复利的概念，此时本利和为y(t)=y0ert
换句话说，连续复利时，t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答。
由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述，而连续复利的问题由微分方程来描述。对於常系数线性的差分方程及微分方程，解方程式的整个要点就是叠合原理，因此求解的办法具有完全平行的类推。
(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)
(一) Fubini 重和分定理：给一个两重指标的数列 (ars)，我们要从 r=1 到 m，s=1到 n， 对 (ars) 作和 ，则这个和可以这样求得：光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然)。亦即我们有
(二)Fubini 重积分定理：设 f(x，y) 为定义在 上之可积分函数，则
当然，变数再多几个也都一样。
(己)Lebesgue 积分的概念
(一) 离散的情形：给一个数列 (an)，我们要估计和 ，Lebesgue 的想法是，不管这堆数据指标的顺序，我们只按数值的大小来分堆，相同的分在一堆，再从每一堆中取一个数值，乘以该堆的个数，整个作和起来，这就得到总和。
(二)连续的情形：给一个函数 f，我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积。(见下图)
Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割：
函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐，令其为 ， 於是 [a，b] 就相应分割成 ，取样本点 ，作近似和
让影域的分割加细，上述近似和的极限若存在的话，就叫做 f 在 [a，b] 上的 Lebesgue 积分。
【释义】
指人的思想追求与其生活方式，也指读书与实践。
1 认识与实行。
《礼记·中庸》“夫妇之愚，可以与知焉……夫妇之不屑，可以能行焉”
2 智虑和德行。
《荀子·非相》：“知行浅薄。” 杨倞 注：“言智虑德行至浅薄。”
【读音】zhī xíng
【成语】
知行合一 [ zhī xíng hé yī ] 认识事物的道理与实行其事，是密不可分的一回事。
明 王守仁 《传习录》卷上：“只说一箇知，已自有行在；只说一箇行，已自有知在。古人所以既说一箇知，又说一箇行者，只为世间有一种人懵懵懂懂的任意去做，全不解思惟省察也，只是箇冥行妄作，所以必说箇知，方纔行得……某今说箇知行合一，正是对病的药。”
【造句】
1 做人要内外一如，处事要知行合一；说话要言行一致，行为要表里如一；做人要前后一致，做事要老少无欺。
2 知行合一是解决这个世界上难题的唯一办法。
3 身教最为美，知行不可分。
4 先秦时期，已存在知行之辩，主要源于哲人思者对人们的致知过程和践行过程的思考和反思。
以简便的办法去对付复杂繁多的事情。把“知”和“行”统一起来，才能称得上“善”。
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